Définition :
Soit \(P=\sum_{i=0}^na_iX^i\in{\Bbb K}[X]\)
Alors on peut lui associer la fonction notée \(\tilde P\) de \({\Bbb K}\) dans \({\Bbb K}\) définie par \({{\tilde P(x)}}={{\sum_{i=0}^na_ix^i,x\in{\Bbb K}}}\)
(Polynôme, Fonction)
Propriétés du passage à la fonction polynômiale
Proposition :
L'application $$\begin{align}\Theta:{\Bbb K}[X]&\longrightarrow\mathcal F({\Bbb K},{\Bbb K})\\ P&\longmapsto\tilde P\end{align}$$
Est une application linéaire et on a \({{\operatorname{Im}(\Theta)}}={{\mathcal P}}\)
(Fonction linéaire, Image (algèbre linéaire), Surjection)
Pour tous \((P,Q)\in{\Bbb K}[X]^2\), on a : $${{\widetilde{PQ} }}={{\tilde P\tilde Q}}$$
Si \(P\in{\Bbb K}[X]\), alors \(\tilde P\) est infiniment dérivable sur \({\Bbb R}\) et pour tout \(i\in{\Bbb N}\) et tout \(x\in{\Bbb R}\), on a : $${{(\tilde P)^{(i)}(x)}}={{\widetilde{P^{(i)} }(x)}}$$
(Dérivabilité) Identification de polynômes et de fonctions polynomiales
